Question

已知α，β∈（0，

π

2

），且sin（α+2β）=

7

5

sinα．
（1）求证：tan（α+β）=6tanβ；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．

Answer 1

分析：（1）依题意知，sin[（α+β）+β]=

7

5

sin[（α+β）-β]，整理得sin（α+β）cosβ=6cos（α+β）sinβ，易证cos（α+β）≠0，继而可证tan（α+β）=6tanβ；
（2）由（1）得tan（α+β）=6tanβ，即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=6tanβ，整理得tanβ=

1

3

tanα，代入前者即可求得tanα及α的值．

解答：（1）证明：∵sin（α+2β）=

7

5

sinα，
∴sin[（α+β）+β]=

7

5

sin[（α+β）-β]，
∴sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=

7

5

[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]，
∴sin（α+β）cosβ=6cos（α+β）sinβ①
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴α+β∈（0，π），
若cos（α+β）=0，则由①知sin（α+β）=0与α+β∈（0，π）矛盾，
∴cos（α+β）≠0，
∴①两边同除以6cos（α+β）cosβ得：tan（α+β）=6tanβ；  
（2）由（1）得tan（α+β）=6tanβ，即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=6tanβ，
∴tanα=3tanβ，
∴tanβ=

1

3

tanα，
∴

4 3 tanα

1- 1 3 tan2α

2tanα，
∵α∈（0，

π

2

），
∴tanα=1，
∴α=

π

4

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查“拆分角”的应用，突出两角和与差的正切公式的考查及推理证明能力，属于中档题．