题目内容

在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果满足条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),且A≠B,求证:△ABC是直角三角形.
分析:利用正弦定理,两角和差的正弦公式,把已知的等式化为 sin2AcosA•sinB=2 sin2BsinAcosB,在化为sin2A-sin2B=0,2cos(A+B)•sin(A-B)=0,故有cos(A+B)=0,故-cosC=0,得到c=90°,命题得证.
解答:证明:原式化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)=-b2[sin(A-B)+sin(A+B)],
即  a2[sin(A+B)-sin(A-B)=b2[sin(A-B)+sin(A+B)],
故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB,由正弦定理可得 sin2AcosA•sinB=2 sin2BsinAcosB,
∵0<B<π,0<A<π,∴sinA≠0,sinB≠0,∴sinAcosA=sinBsinB,sin2A=sin2B,
sin2A-sin2B=0,∴2cos(A+B)•sin(A-B)=0.
∵A-B≠0,∴sin(A-B)≠0,∴cos(A+B)=0,故-cosC=0,∴c=90°,∴△ABC是直角三角形.
点评:本题考查正弦定理,两角和差的正弦公式和诱导公式,根据三角函数的值求角,得到sin2A=sin2B,是解题的关键.
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