题目内容
如图,正三棱锥的底面边长为
,侧棱长为
,
为棱
的中点.
(1)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求该三棱锥的体积.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)求异面直线所成的角,一般是按照定义作出这个角,即作平行线,把空间角化为平面角,通过解三角形来处理,而作平行线,一般都是过异面直线中一条上的某点作一条的平行线,如本题中有是
的中点,我们只要取
中点
,则就有
∥
,
(或其补角)就是所求;(2)要求棱锥体积,就要求出底面积(本题底面是正三角形,面积易求)和高,正棱锥中我们知道棱锥的高,侧棱,侧棱在底面上的射影构成一个直角三角形,可在这个直角三角形中求出正棱锥的高.
试题解析:(1)取中点
,连结
、
,因为
∥
,所以
就是异面直线
与
所成的角(或其补角). (2分)
在△中,
,
, (1分)
所以. (2分)
所以,异面直线与
所成的角的大小为
. (1分)
(2)作平面
,则
是正△
的中心, (1分)
连结,
, (1分)
所以, (1分)
所以,. (2分)
考点:(1)异面直线所成的角;(2)棱锥的体积.

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