Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB、AD、AP互相垂直，AD=2BC，过BC的平面分别交PA、PD于M、N两点（M不与A重合）．
（1）求证：MN∥平面ABCD
（2）已知BC=2，AB=3，PA=6，E、M分别为BC、PA的中点，求异面直线DE和CN所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）由梯形性质得BC∥AD，从而BC∥平面PAD，进而得到BC∥MN，由此能证明MN∥平面ABCD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE和CN所成的角的大小．

解答 （1）证明：∵底面ABCD为直角梯形，AB、AD、AP互相垂直，∴BC∥AD，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∵过BC的平面分别交PA、PD于M、N两点（M不与A重合），
∴BC与MN共面，且MN?平面PAD，∴BC∥MN，
∵BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得D（0，4，0），E（3，1，0），C（3，2，0），P（0，0，6），N（0，2，3），
$\overrightarrow{DE}$=（3，-3，0），$\overrightarrow{CN}$=（-3，0，3），
设异面直线DE和CN所成的角的大小为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{CN}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{18}•\sqrt{18}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
∴异面直线DE和CN所成的角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．