Question

11．已知函数y=-3x²+2ax-1，x∈[0，1]，求y的最大和最小值．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：∵y=-3x²+2ax-1，
∴对称轴x=$\frac{a}{3}$，
①当$\frac{a}{3}$≤0即a≤0时：f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（1）=2a-4；
②当0＜$\frac{a}{3}$≤$\frac{1}{2}$即0＜a≤$\frac{3}{2}$时：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$]递增，在（$\frac{a}{3}$，1]递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{2}}{3}$-1，f（x）_min=f（1）=2a-4；
③当$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{3}$＜1即$\frac{3}{2}$＜a＜3时：
f（x）在[0，$\frac{a}{3}$]递增，在（$\frac{a}{3}$，1]递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{2}}{3}$-1，f（x）_min=f（0）=-1；
④$\frac{a}{3}$≥1即a≥3时：
f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=2a-4，f（x）_min=f（0）=-1．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．