Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求三棱锥C-PBD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用等体积转化，即可求三棱锥C-PBD的体积；
（2）利用三角形中位线性质证明线线平行，再证明线面平行即可；
（3）证明BD⊥平面PAC，利用不论点E在何位置，都有CE?平面PAC，即可得到结论．

解答：（1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥平面BCD…（1分）
∴VC-PBD=VP-BCD=

1

3

S△BCD•PA=

1

3

•

1

2

BC•CD•PA=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

即三棱锥C-PBD的体积为

1

3

．…（4分）
（2）证明：连接AC交BD于O，连接OE．…（5分）
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．…（6分）
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE …（7分）
∴PC∥平面BDE．…（8分）
（3）解：不论点E在何位置，都有BD⊥CE．…（9分）
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（10分）
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（11分）
∵不论点E在何位置，都有CE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE．…（12分）

点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查线面平行，线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．