Question

（2009•卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
（3）将（1）中的曲线C推广为椭圆：

x2

2

+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C．
（2）将直线l与l'的方程与轨迹C的方程联立，分别求弦长，从而表达出四边形ADBE面积S，再利用基本不等式求最小值；
（3）将直线l与l'的方程与椭圆的方程联立，分别求弦长，从而表达出四边形ADBE面积S，再利用基本不等式求最小值；

解答：解：（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知

HP

=(3 ， b)，

PM

=(x ， y-b)，

MQ

=(a-x ， -y)，由题设

PM

=-

3

2

MQ

，得{ 

x=- 3 2 (a-x) y-b= 3 2 y

其中a≥0，从而a=

1

3

x，b=-

1

2

y，且x≥0，
又由已知

HP

•

PM

=0，得HP⊥PM，
当b≠0时，y≠0，此时kHP=

b

3

，得kPM=-

3

b

，
又k_PM=k_PQ，故-

b

a

=-

3

b

，a=

b2

3

，
即

1

3

x=

1

3

(-

1

2

y)2，y²=4x（x≠0），
当b=0时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为y²=4x，它表示以原点为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线；                                    （4分）
（2）由题设，可设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-

1

k

(x-1)，（k≠0），又设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故|AB|=

4(1+k2)

k2

，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
则S=

1

2

|AB|•|DE|=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，
当且仅当k=±1时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32．
（9分）
（3）当k≠0时可设直线l的方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故|AB|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，|DE|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，（13分）S=

4(1+k2)2

(1+2k2)(k2+2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

，
当且仅当k²=1时等号成立．（17分）
当k=0时，易知|AB|=2

2

，|DE|=

2

，得S=2＞

16

9

，
故当且仅当k²=1时四边形ADBE面积S有最小值

16

9

．（18分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合运用，主要考查了椭圆的应用，向量的基本性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查利用基本不等式求最值问题．