题目内容
（2009•卢湾区二模）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ，使得
=λ•
+(1-λ)•
成立，此时称实数λ为“向量
关于
和
的终点共线分解系数”．若已知P1（3，1）、P2（-1，3），且向量
是直线l：x-y+10=0的法向量，则“向量
关于
和
的终点共线分解系数”为
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OP3 |
| OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
-1
-1
．分析：由向量
是直线l：x-y+10=0的法向量得出向量
与向量
=（1，1）垂直，则由两向量垂直数量积为零，我们可设出向量
的坐标，然后根据
=λ•
+(1-λ)•
，我们可以构造一个关于λ的方程组，利用待定系数法即可求出λ的值．
| OP3 |
| OP3 |
| a |
| OP3 |
| OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
解答：解：由向量
是直线l：x-y+10=0的法向量得出：
与向量
=（1，1）垂直，
可设
=(t，-t)(t≠0)，
由
=λ•
+(1-λ)•
得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴
，
两式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故答案为：-1．
| OP3 |
| OP3 |
| a |
可设
| OP3 |
由
| OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴
|
两式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故答案为：-1．
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、向量共线的充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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