题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点.
(1)若为线段
上的动点,证明:平面
平面
;
(2)若为线段
,
,
上的动点(不含
,
),
,三棱锥
的体积是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)利用,可得
平面
,根据面面垂直的判定定理可证平面
平面
;
(2) 由底面
,得平面
平面
.将问题转化为点
到直线
的距离有无最大值即可解决.
(1)证明:因为,
为线段
的中点,所以
,
因为底面
,
平面
,所以
,
又因为底面为正方形,所以
,
,
所以平面
,
因为平面
,所以
,
因为,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)由底面
,则平面
平面
,
所以点到平面
的距离(三棱锥
的高)等于点
到直线
的距离,
因此,当点在线段
,
上运动时,三棱锥
的高小于或等于2,
当点在线段
上运动时,三棱锥
的高为2,
因为的面积为
,
所以当点在线段
上,三棱锥
的体积取得最大值,
最大值为.
由于三棱锥的体积等于三棱锥
的体积,
所以三棱锥的体积存在最大值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在,
实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)用样本估计总体,以频率作为概率,若在,
两块试验地随机抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
(Ⅲ)填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗 | 非优质花苗 | 合计 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合计 |
附:下面的临界值表仅供参考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
.)
【题目】已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数(个)和温度
(
)的7组观测数据,其散点图如所示:
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数和温度
可用方程
来拟合,令
,结合样本数据可知
与温度
可用线性回归方程来拟合.根据收集到的数据,计算得到如下值:
27 | 74 | 182 |
表中,
.
(1)求和温度
的回归方程(回归系数结果精确到
);
(2)求产卵数关于温度
的回归方程;若该地区一段时间内的气温在
之间(包括
与
),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:
,
,
,
,
.)
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.