Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣ ．
由于当x＞﹣ 时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣ 时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣ ，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0，
所以b= + （a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣ + ＞0，解得a＞3，
所以b= + （a＞3）．
（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，
设x1 ， x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，
所以f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2
= ﹣ +2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6]．
【解析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣ ，从而f（﹣ ）=0，整理可知b= + （a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为 ﹣ +2，进而问题转化为解不等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键．