题目内容
（2011•东城区二模）已知sin（A+
）=
，A∈（0，
）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．
| π |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．
分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+
）-
），根据余弦函数差的公式代入求值．
（Ⅱ）将f（x）化简，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos2x+4cosx=2（cosx+1）2-2，x∈R．根据cosx的范围求出f（x）的最大最小值，确定值域．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）将f（x）化简，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos2x+4cosx=2（cosx+1）2-2，x∈R．根据cosx的范围求出f（x）的最大最小值，确定值域．
解答：解：（Ⅰ）因为A∈（0，
）．
且sin（A+
）=
，
所以
＜A+
＜
，
cos（A+
）=
．
因为cosA=cos（（A+
）-
）
=cos（A+
）cos
+sin（A+
）sin
=
×
+
•
=
所以 cosA=
．
（Ⅱ）因为f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos2x+4cosx
=2（cosx+1）2-2，x∈R．
因为cosx∈[-1，1]，
所以，当cosx=1时，f（x）取最大值6；
当cosx=-1时，f（x）取最小值-2．
所以函数f（x）的值域为[-2，6]．
| π |
| 4 |
且sin（A+
| π |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
所以
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
cos（A+
| π |
| 4 |
| ||
| 10 |
因为cosA=cos（（A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=cos（A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
所以 cosA=
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）因为f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos2x+4cosx
=2（cosx+1）2-2，x∈R．
因为cosx∈[-1，1]，
所以，当cosx=1时，f（x）取最大值6；
当cosx=-1时，f（x）取最小值-2．
所以函数f（x）的值域为[-2，6]．
点评：本题考查了三角函数的化简求最值，以及余弦函数差的公式，还考查了二次函数的性质，综合性比较强．
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