题目内容

(2011•东城区二模)已知sin(A+
π
4
)=
7
2
10
,A∈(0,
π
4
).
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求函数f(x)=cos2x+5cosAcosx+1的值域.
分析:(Ⅰ)cosA=cos((A+
π
4
)-
π
4
),根据余弦函数差的公式代入求值.
(Ⅱ)将f(x)化简,f(x)=cos2x+5cosAcosx+1=2cos2x+4cosx=2(cosx+1)2-2,x∈R.根据cosx的范围求出f(x)的最大最小值,确定值域.
解答:解:(Ⅰ)因为A∈(0,
π
4
).
且sin(A+
π
4
)=
7
2
10

所以
π
4
<A+
π
4
π
2

cos(A+
π
4
)=
2
10

因为cosA=cos((A+
π
4
)-
π
4

=cos(A+
π
4
)cos
π
4
+sin(A+
π
4
)sin
π
4

=
2
10
×
2
2
7
2
10
2
2
=
4
5

所以 cosA=
4
5
.                             
(Ⅱ)因为f(x)=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos2x+4cosx
=2(cosx+1)2-2,x∈R.
因为cosx∈[-1,1],
所以,当cosx=1时,f(x)取最大值6;
当cosx=-1时,f(x)取最小值-2.
所以函数f(x)的值域为[-2,6].
点评:本题考查了三角函数的化简求最值,以及余弦函数差的公式,还考查了二次函数的性质,综合性比较强.
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