Question

8．已知两点A（-2，0）和B（0，2），点C是圆x²+y²+4x-6y+12=0上的任意一点，则△ABC的面积的最小值是（　　）

• A． 3-$\sqrt{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{6-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得AB=2$\sqrt{2}$，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．

解答 解：圆x²+y²+4x-6y+12=0，即（x+2）²+（y-3）²=1，
∴圆心（-2，3），半径是r=1．
直线AB的方程为x-y+2=0，
圆心到直线AB的距离为$\frac{|-2-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
直线AB和圆相离，
点C到直线AB距离的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，AB=2$\sqrt{2}$
△ABC的面积的最小值为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{3\sqrt{2}}{2}-1）$=3-$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．