题目内容
12.已知定义在(0,+∞)上的连续函数y=f(x)满足:xf′(x)-f(x)=xex且f(1)=-3,f(2)=0.则函数y=f(x)( )A. | 有极小值,无极大值 | B. | 有极大值,无极小值 | ||
C. | 既有极小值又有极大值 | D. | 既无极小值又无极大值 |
分析 由题意可得$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)上是增函数,从而可得f′(x)在(0,+∞)上是增函数,从而解得.
解答 解:∵$(\frac{f(x)}{x})′$=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$>0,
∴$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)上是增函数,
∵xf′(x)-f(x)=xex,
∴f′(x)=$\frac{f(x)}{x}$+ex,
∵y=ex在(0,+∞)上是增函数,
∴f′(x)在(0,+∞)上是增函数,
又∵f′(1)=-3+e<0,f′(2)=0+e2>0,
故f′(x)在(0,+∞)上先负值,后正值;
故函数y=f(x)有极小值,无极大值,
故选A.
点评 本题考查了导数的综合应用,关键在于构造函数$\frac{f(x)}{x}$.
练习册系列答案
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2.函数f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(2x-x2)的单调递减区间为( )
A. | (0,2) | B. | (-∞,1] | C. | [1,2) | D. | (0,1] |
3.数列{an}满足anan+1-an+1=-1,a2016=-1,则a361等于( )
A. | -1 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
17.如图所示,A,B,C,D是海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连接起来,则不同的建桥方案共有( )
A. | 48种 | B. | 32种 | C. | 24种 | D. | 16种 |