题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为
,
点的坐标为
.
(1)求过点且与圆
相切的直线方程;
(2)过点任作一条直线
与圆
交于不同两点
,
,且圆
交
轴正半轴于点
,求证:直线
与
的斜率之和为定值.
【答案】(1)或
(2)详见解析
【解析】
(1)当直线的斜率不存在时,直线
满足题意,当直线
的斜率存在时,设切线方程为
,圆心到直线的距离等于半径,列式子求解即可求出
,即可得到切线方程;(2)设直线
:
,代入圆
的方程,可得到关于
的一元二次方程,设
,
,且
,直线
与
的斜率之和为
,代入根与系数关系整理可得到所求定值。
(1)当直线的斜率不存在时,显然直线
与圆
相切
当直线的斜率存在时,设切线方程为
,
圆心到直线的距离等于半径,即,解得
,切线方程为:
,
综上,过点且与圆
相切的直线的方程是
或
(2)圆:
与
轴正半轴的交点为
,依题意可得直线
的斜率存在且不为0,设直线
:
,代入圆
:
,
整理得:.
设,
,且
∴,
∴直线与
的斜率之和为
为定值.
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