题目内容
附加题:
设函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)满足f(1)=0,g(x)=ax+b.
设A,B是f(x)与g(x)的图象的两个交点,AA1垂直x轴于点A1,BB1垂直x轴于点B1,求线段|A1B1|长的取值范围.
设函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)满足f(1)=0,g(x)=ax+b.
设A,B是f(x)与g(x)的图象的两个交点,AA1垂直x轴于点A1,BB1垂直x轴于点B1,求线段|A1B1|长的取值范围.
分析:根据f(1)=0.得到c与a,b的关系,将f(x),g(x)两方程联立,设两根为x1,x2,则|A1B1|=|x1-x2|,通过韦达定理表示出线段|A1B1|,再根据二次函数性质求出其的取值范围.
解答:解:∵|A1B1|=|x1-x2|=
,
而a+b+c=0,⇒-c=a+b,
故|A1B1|=
=
令
=t,
而c=-a-b<b⇒-a<ab<2a⇒a>0,
∵a>b,
∴
<1,
∵-a<2b,
∴
>-
⇒t=
∈(-
,1),故|A1B1|∈(
,2
).
| ||
|a| |
而a+b+c=0,⇒-c=a+b,
故|A1B1|=
|
(
|
b |
a |
而c=-a-b<b⇒-a<ab<2a⇒a>0,
∵a>b,
∴
b |
a |
∵-a<2b,
∴
b |
a |
1 |
2 |
b |
a |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
点评:本题考查了函数的变形以及二次函数的性质,是常考题型.

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