Question

（附加题）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判断函数f（x）的单调性；
（ 2 ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*）
A．求数列{a_n}的通项公式；
B．令bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+b3+…bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试比较S_n与

2

3

T_n的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=1或f（0）=0．当f（0）=0时，f（x+y）=f（0）=f（x）f（-x）=0．所以f（x）=0，不成立，故f（0）=1．对任意的x₁＜x₂，由题设知f（x₁）＞

1

f(-x2)

=

f(0)

f(-x2)

=

f(x2-x2)

f(-x 2)

=

f(x2) f(-x2)

f(-x2)

=f（x2），故y=f（x）在R上是单调递减函数．
（2）A．由a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），知a₁=f（0）=1=f（a_n+1）f（-2-a_n）=f（a_n+1-2-a_n）．由单调性可知a_n+1-2-a_n=0，由此能求出{a_n}的通项公式．
B．由题设知bn=(

1

2

)2n-1=2×(

1

4

)n，Sn=

2× 1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

(1-4-n).Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．能够得到Sn＞

2

3

Tn．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=[f（0）]²，
∴f（0）=1或f（0）=0
当f（0）=0时，
∵y=-x时，f（x+y）=f（0）=f（x）f（-x）=0．
∴f（x）=0，不成立，
∴f（0）≠0，
故f（0）=1．
对任意的x₁＜x₂，即x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）f（-x₂）＞1
∴f（x₁）＞

1

f(-x2)

=

f(0)

f(-x2)

=

f(x2-x2)

f(-x 2)

=

f(x2) f(-x2)

f(-x2)

=f（x2），
故y=f（x）在R上是单调递减函数．
（2）A．∵a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*）
∴a₁=f（0）=1=f（a_n+1）f（-2-a_n）=f（a_n+1-2-a_n）
由单调性可知a_n+1-2-a_n=0
即a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
B．∵a_n=2n-1，bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+b3+…bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，
∴bn=(

1

2

)2n-1=2×(

1

4

)n，
∴Sn=

2× 1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

(1-4-n)．
∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∴Sn＞

2

3

Tn．
证明：∵n∈N^*，
∴

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，
1-4^-n≥

3

4

，
∴1-4-n＞

n

2n+1

，
∴Sn=

2

3

(1-4-n)＞

2

3

Tn=

2

3

×

n

2n-1

，
即：Sn＞

2

3

Tn．

点评：本题考查数列与函数据的综合，计算繁琐，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．注意裂项求和法的灵活运用．