Question

附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

Answer 1

分析：（I）利用反证法证明，先假设f（x）＜0，然后推出与已知条件矛盾，即可得以证明；
（II）首先得出f（0）=1即可得出f（-x）=

1

f(x)

=[f（x）]^-1，然后推出f（1）=f（

1

n

+

1

n

+…+

1

n

）=[f（

1

n

）]ⁿ，f（

1

n

）=[f(1)]

1

n

，再设x=

m

n

即可得出结论．
（III）设x=x₁+x₂+x₃+…，然后根据条件得出f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x．

解答：证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

=[f（x）]^-1
    可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]^m，m为正整数．
            f（1）=f（

1

n

+

1

n

+…+

1

n

）=[f（

1

n

）]ⁿ，f（

1

n

）=[f(1)]

1

n

，n为正整数．
  设x=

m

n

，m、n为整数．
  f（x）=f（

m

n

）=[f(1)]

m

n

=[f（x）]^x
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x₁、x₂、x₃、…
  使得x=x₁+x₂+x₃+…
∵f（x+y）=f（x）?f（y）
  所以，f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x

点评：本题考查了函数恒成立问题以及函数的值域，对于有些从正面证明较复杂的问题可以采取反证法，使得问题简单化．