Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）文：当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵，设另一个根为x₂，则，∴x₂=1，（2分）
则 f（x）＜0的解为 ．（4分）
（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则（2分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，则f（x）＜0的解为（4分）
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，则三交点为（6分）
这三交点为顶点的三角形的面积为，（7分）
∴故．（10分）
（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，
∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）
必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，
对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要，即（16分）
解得实数m的取值范围为 m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．
分析：（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，利用根与系数的关系求出函数的两个零点，结合图象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由题意得出函数f（x）的零点，结合图解法求得f（x）＜0的解即可；
（3）由于f（x）的图象与x轴有两个交点，结合图象表示出三交点为顶点的三角形的面积表达式，从而得到a关于c的表达式，最后利用基本不等式求a的取值范围；
（4）要使f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，令g（k）=-2km+m²，下面问题转化为恒成立问题解决，利用二次函数的图象与性质解得实数m的取值范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式与一元二次方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．