Question

10．已知a＞0，b＞0，且$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤a，求证：$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，可得$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{1}{2a}$，再分类讨论，即可得出结论．

解答 解：∵a＞0，b＞0，
∴a²+b²≥2ab，
∴$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{1}{2a}$，
令a=$\frac{1}{2a}$（a＞0），则a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令a＞$\frac{1}{2a}$，则a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令a＜$\frac{1}{2a}$，则0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤a，
∴$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
∴$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数最值的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．