Question

【题目】已知a，b∈R+ ， m，n∈N* ． （Ⅰ）求证：（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）；
（Ⅱ）求证： ≤ ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm）=am+n+bm+n﹣anbm﹣anbm=am（an﹣bn）+bm（bn﹣an）=（am﹣bm）（an﹣bn）；
①若a≥b＞0则，am≥bm＞0，an≥bn＞0，可得（am﹣bm）（an﹣bn）≥0；
②若0＜a＜b，则0＜am＜bm ， 0＜an＜bn ， 可得（am﹣bm）（an﹣bn）＞0；
综上所述总有（am﹣bm）（an﹣bn）≥0
故（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得（a+b）（a2+b2）≤2（a3+b3），
即有（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≤2（a3+b3）（a3+b3）≤4（a6+b6）
则有 ≤
【解析】（Ⅰ）作差可得2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm），展开运用因式分解，推理a，b的大小，即可得证；（Ⅱ）分别令n=1，m=2，以及m=n=3，运用（Ⅰ）的结论，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．