题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的最大值;
(2)若,且对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)0;(2) .
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出函数的最大值即可;
(2)令(x)=f(x)+1,根据函数的单调性分别求出φ(x)的最小值和g(x)的最大值,得到关于m的不等式,解出即可.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
当时,
,
∴当时,
,函数
在
上单调递增,
∴当时,
,函数
在
上单调递减,
∴.
(2)令,因为“对任意的
,
恒成立”,
所以对任意的,
成立,由于
,
当时,对
有
,从而函数
在
上单调递增,
所以,
,
当时,
,
时,
,显然不满足
,
当时,令
得
,
,
①当,即
时,在
上
,所以
在
上单调递增,所以
,只需
,得
,所以
.
②当,即
时,在
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减,所以
,只需
,得
,所以
.
③当,即
时,显然在
上
,
单调递增,所以
,
不成立.
综上所述, 的取值范围是
.
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