Question

已知，，
（1）求f（x）的定义域　　 （2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；　 （3）证明f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，
∴f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）∵f（x）=x（+）=•，
f（-x）=-•=•=f（x），，
∴f（x）为偶函数．
（3）证明：∵f（x）=•，
当x＞0，2^x＞2⁰，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，
∴f（x）＞0；
同理当x＜0，则2^x-1＜0，又2^x+1＞0，
∴f（x）=•＞0；
∴f（x）＞0．
又x≠0．综上所述，f（x）＞0．
分析：（1）由2^x-1≠0即可求得f（x）的定义域；
（2）利用奇偶函数的定义f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）即可判断f（x）的奇偶性；
（3）可对x分x＞0与x＜0讨论解决．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重综合考查函数的性质，属于中档题．