题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)因为所以要证
平面
,即证
平面
,转证
(2)以点
为坐标原点,
,
,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.分别求出平面
与平面
的法向量,代入公式,即可得到二面角
的余弦值.
(1)证明:取的中点
,连接
,所以
.
因为,所以四边形
为平行四边形,
所以,且
.又
,
,
所以,
所以,所以
.
又因为,
,所以
平面
.
又因为,所以
平面
.
(2)由(1)知平面
,过点
作
交
于点
,
故以点为坐标原点,
,
,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
,
所以,
,
.
,
设平面的法向量为
,
由,得
,
取,得平面
的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
由,得
,
取,得平面
的一个法向量为
,
所以.
因为二面角是一个锐二面角,所以余弦值为
.
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