题目内容
15.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( )A. | {x|-2<x<0或x>2} | B. | {x|x<-2或0<x<2} | C. | {x|x<-2或x>2} | D. | {x|-2<x<0或0<x<2} |
分析 根据函数为奇函数求出f(-2)=0,再将不等式x[f(x)-f(-x)]<0即xf(x)<0分成两类,利用函数的单调性进行求解,可以得出相应的解集.
解答 解:∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(2)=0,
∴f(-2)=-f(2)=0,在(-∞,0)内是增函数
∴x[f(x)-f(-x)]<0即xf(x)<0可化为$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)<f(2)}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)>f(-2)}\end{array}\right.$.
根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数
解得:-2<x<0或0<x<2.
故选:D.
点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于中档题.
练习册系列答案
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4.实数x,y=$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$,则z=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的取值范围是( )
A. | [$\frac{1}{3},\frac{10}{3}$] | B. | [$\frac{1}{3},\frac{5}{2}$] | C. | [2,$\frac{5}{2}$] | D. | [2,$\frac{10}{3}$] |