Question

6．求证：A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n-1}^{m-1}$+m（m-1）A${\;}_{n-1}^{m-2}$=A${\;}_{n+1}^{m}$．（n，m∈N^*，n≥m＞2）

Answer 1

分析 利用排列数公式${A}_{n}^{m}$=$\frac{n!}{（n-m）!}$进行化简、证明即可．

解答 证明：左边=$\frac{n!}{（n-m）!}$+m•$\frac{（n-1）!}{[（n-1）-（m-1）]!}$+m（m-1）•$\frac{（n-1）!}{[（n-1）-（m-2）]!}$
=$\frac{n!}{（n-m）!}$+$\frac{m•（n-1）!}{（n-m）!}$+$\frac{m（m-1）•（n-1）!}{（n+1-m）!}$
=$\frac{（n+m）（n-1）!}{（n-m）!}$+$\frac{m（m-1）（n-1）!}{（n+1-m）!}$
=$\frac{（n+1-m）（n+m）（n-1）!}{（n+1-m）!}$+$\frac{m（m-1）（n-1）!}{（n+1-m）!}$
=$\frac{（n+1）!}{（n+1-m）!}$
=A${\;}_{n+1}^{m}$
=右边．
∴A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n-1}^{m-1}$+m（m-1）A${\;}_{n-1}^{m-2}$=A${\;}_{n+1}^{m}$．（n，m∈N^*，n≥m＞2）

点评 本题考查了排列数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．