Question

【题目】定义在[﹣1，1]上的函数f（x）满足：①对任意a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有 ＞0成立；②f（x）在[﹣1，1]上是奇函数，且f（1）=1．
（1）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递增函数；
（2）解关于x不等式f（x）＜f（ x+1）；
（3）若f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）

∵ ＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．

（2）解：若f（x）＜f（ x+1），则﹣1≤x＜ x+1≤1，

解得：x∈[﹣1，0]，

故不等式f（x）＜f（ x+1）的解集为[﹣1，0]；

（3）解：要使f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只须f（x）max≤m2﹣2am﹣2，即1≤m2﹣2am﹣2对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

亦即m2﹣2am﹣3≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

令g（a）=m2﹣2am﹣3，

只须 ，

解得m≤﹣3或m≥3．

【解析】（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）根据（1）中单调性，可得﹣1≤x＜ x+1≤1，解得答案；（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的性质，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集即可以解答此题．