Question

双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．

Answer 1

(1) x²－＝1.(2) 3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

试题分析：(1)依题意有
解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x²－＝1.（4分）
(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．（5分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由得，
(3－k²)x²＋4k²x－4k²－3＝0.                          
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k²≠0.（7分）
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，则x₁、x₂是方程①的两个正根，于是有

所以k²>3。 （9分）
因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x₀＋2＝5，∴x₀＝3，
而x₀＝＝＝3，∴k²＝9，解得k＝±3.（10分）
∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．
所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.（12分）
点评：中档题，涉及双曲线的题目，在近些年高考题中是屡见不鲜，往往涉及求标准方程，研究直线与双曲线的位置关系。求标准方程，主要考虑定义及a,b,c,e的关系，涉及直线于双曲线位置关系问题，往往应用韦达定理。本题利用“垂直关系”较方便的得到了直线的斜率，进一步确定得到直线方程。