题目内容

(12分)已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;

(2)若对于都有成立,试求的取值范围;

(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.

 

【答案】

(1)的单调增区间是,单调减区间是(2)

(3)

【解析】

试题分析:(1)由题意知直线的斜率为1.

函数的定义域为

所以,所以.

所以.

解得;由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是.                      ……4分

(2) ,由解得;由解得.所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.

所以当时,函数取得最小值,.

因为对于都有成立,所以即可.

. 由解得.  

所以的范围是                                                  ……8分

(3)依题得,则.

解得;由解得.

所以函数在区间上为减函数,在区间上为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点,所以

解得.所以的取值范围是                   ……12分

考点:本小题主要考查导数的几何意义、利用导数求单调区间、已知单调性求参数的取值范围以及函数的零点个数问题,考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用以及运算求解能力.

点评:导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具,研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域,在定义域范围内求解;第(3)问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.

 

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