题目内容
(12分)已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(2)若对于都有
成立,试求
的取值范围;
(3)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)的单调增区间是
,单调减区间是
(2)
(3)
【解析】
试题分析:(1)由题意知直线的斜率为1.
函数的定义域为
,
,
所以,所以
.
所以,
.
由解得
;由
解得
.
所以的单调增区间是
,单调减区间是
. ……4分
(2) ,由
解得
;由
解得
.所以
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
所以当时,函数
取得最小值,
.
因为对于都有
成立,所以
即可.
则. 由
解得
.
所以的范围是
……8分
(3)依题得,则
.
由解得
;由
解得
.
所以函数在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
又因为函数在区间
上有两个零点,所以
解得.所以
的取值范围是
……12分
考点:本小题主要考查导数的几何意义、利用导数求单调区间、已知单调性求参数的取值范围以及函数的零点个数问题,考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用以及运算求解能力.
点评:导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具,研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域,在定义域范围内求解;第(3)问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.

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