Question

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

Answer 1

（1）+y²=1  （2）y=x+或y=-x-

解:(1)因为椭圆C₁的左焦点为F₁(-1,0),
所以c=1.
将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,
得=1,即b=1.
所以a²=b²+c²=2.
所以椭圆C₁的方程为+y²=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,
设直线l的方程为y=kx+m,
由
消去y并整理得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.
因为直线l与椭圆C₁相切,
所以Δ₁=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=0.
整理得2k²-m²+1=0.①
由消去y并整理得k²x²+(2km-4)x+m²=0.
因为直线l与抛物线C₂相切,
所以Δ₂=(2km-4)²-4k²m²=0,
整理得km=1.②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.