Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=-

1

2

(an-3)(n∈N*)，求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2，可求出f（0）的值．
（II）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，利用③证明f（x₂）-f（x₁））=f（x₂-x₁）-2≥0，即 f（x₂）≥f（x₁），得到f（x）≤f（1）=3．
（III）令n=1，得：a₁=1，n≥2，时，由a_n=s_n-s_n-1求出通项公式，得到f（a_n）与f（a_n-1）的关系，构造一个等比数列，求出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）的值．

解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由③知f（0）=2f（0）-2?f（0）=2；
（Ⅱ）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₂）≥f（x₁），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn=-

1

2

(an-3)知，
当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=-

1

2

an+

1

2

an-1
∴an=

1

3

an-1(n≥2)，又a1=1，∴an=

1

3n-1

∴f(an)=f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)=f(

2

3n

)+f(

1

3n

)-2
=3f(

1

3n

)-4=3f(an+1)-4
∴f(an+1)=

1

3

f(an)+

4

3

∴f(an+1)-2=

1

3

(f(an)-2)
又f（a₁）-2=1∴f(an)-2=(

1

3

)n-1，∴f(an)=(

1

3

)n-1+2
∴f(a1)+f(a2)++f(an)=2n+

3

2

-

1

2×3n-1

.

点评：本题考查抽象函数的性质及应用，前n项和与第n项的关系，构造法进行数列求和．