题目内容

12.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:
①f(x+2)=-f(x);
②f(x+1)是偶函数;
③当x1≠x2∈[1,3]时,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.
则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为(  )
A.f(2011)>f(2012)>f(2013)B.f(2012)>f(2011)>f(2013)
C.f(2013)>f(2011)>f(2012)D.f(2013)>f(2012)>f(2011)

分析 根据条件判断函数的周期性,对称性和单调性,将函数值进行转化,进行比较即可.

解答 解:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x);
即函数f(x)是周期为4的周期函数.
若f(x+1)是偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于x=1对称,
当x1≠x2∈[1,3]时,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.
则此时函数为减函数,
则f(2011)=f(502×4+3)=f(3),
f(503×4)=f(0)=f(2),
f(2013)=f(503×4+1)=f(1),
∵当x∈[1,3]时,函数f(x)为减函数,
∴f(1)>f(2)>f(3),
即f(2013)>f(2012)>f(2011),
故选:D

点评 本题主要考查函数值的大小比较,根据条件判断函数的周期性,对称性和单调性是解决本题的关键.

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