题目内容
【题目】如图，直棱柱
中，底面
是菱形，
，点F，Q是棱
，
的中点，
，
是棱
，
上的点，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明四边形MNQE为平行四边形推出
，证明四边形
为平行四边形推出
，即可得证；（2）建立平面直角坐标系，求出平面
的一个法向量
及向量
的坐标，代入
即可得解.
（1）证明：取
中点
，
上一点
，
，连接
，
，
，易证四边形
为平行四边形，
,
,
四边形MNQE为平行四边形，则，
，四边形为平行四边形，∴．
∵
平面
，
平面，
∴
平面；
（2）连接
，
，设与交于点
，∵底面
是菱形，∴
．
以为原点，
，
，及过点且与平行的直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量
，
则
，令
，得平面的一个法向量为
设直线
与平面所成角为
，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
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