题目内容
【题目】已知函数
，
，且
与
的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.
（1）求
；
（2）设函数
，证明：当
时，
有且仅有2个零点.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据导数的几何意义，分别求出函数
图象上斜率为1的切线，再根据切线方程为同一方程即可求出；
（2）根据第一问结果可得，
，求导，换元，令
，通过二次函数知识判断
的符号，得其单调性，求出极值，再结合零点存在性定理即可求出．
（1）令
，可得
，
.
在
处的切线方程为
，即
.
令
，
，
，
在
处的切线方程为
，即
，
故
，
可得.
（2）证明：由（1）可得
，
，
令，则
，
，
当
时，
有两根
，
且
，
由
，得
，
在
上，
，在
上，
，
此时，
.
又
时，
，
时，.
故在和上，
各有1个零点.
所以时，有2个零点.
【题目】今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下：
每周喝酒量（两） |
|
|
|
|
|
人数 | 100 | 300 | 450 | 100 |
|
规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；
②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.
（1）求
值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；
（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的
列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.
常喝酒 | 不常喝酒 | 合计 | |
得病 | |||
不得病 | 250 | 650 | |
合计 |
参考公式：
，其中
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
