Question

【题目】已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）

（1）求函数h（x）=f（x）g（x）的极值；

（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得极值；
（2）当时，由，当且仅当时，取等号，由 ，则 时，与有公切线，切线方程，即可求得实数 的值．

解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2alnx，x＞0

所以 h′（x）=

当a≤0，h′（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值。-

当a＞0时，由h′（x）＞0，即x2﹣a＞0，解得：a＞或x＜﹣（舍去）

由h′（x）＜0，即x2﹣a＜0，解得：0＜x＜-

∴h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增

∴h（x）的极小值为h（）=a﹣2aln=a﹣alna，无极大值；

（2）当a=e时，由（1）知

h（）=h（）=e﹣elne=0

∴f（x）﹣g（x）≥0， 也即 f（x）≥g（x），当且仅当时，取等号；

以为切点，

f′（）=g′（）

所以y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e

构造函数 ，显然

构造函数

由 解得 ，由 解得

所以在上递减，在上递增-

，即有

从而 ，此时-