题目内容

已知函数f(x)=sin
x
2
+
3
cos
x
2
，x∈R．
（1）化简f（x），并求它的周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）该函数的图象经过怎样的变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．
分析：（1）逆用两角和的正弦公式化简得出f（x）=2sin(
x
2
+
π
3
)．
（2）将
x
2
+
π
3
视为整体，利用正弦函数的单调性求出单调增区间．
（3）逆向思维解决，将由y=sinx（x∈R）的图象得出y=2sin(
x
2
+
π
3
)图象的过程逐步逆回即可．
解答：解：（1）f(x)=2(
1
2
sin
x
2
+
3
2
cos
x
2
)=2sin(
x
2
+
π
3
)，
∴T=
2π
1
2
=4π．
（2）由2kπ-
π
2
≤
x
2
+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z
得4kπ-
5π
3
≤x≤4kπ+
π
3
，k∈Z
∴f(x)的增区间为[4kπ-
5π
3
，4kπ+
π
3
]，k∈Z
（3）将y=2sin(
x
2
+
π
3
)图象上各点的纵坐标缩小为原来的
1
2
倍，横坐标不变得到y=sin(
x
2
+
π
3
)的图象，
再将y=sin(
x
2
+
π
3
)的图象上各点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍，纵坐标不变得到 y=sin(x+
π
3
)的图象，
再将y=sin(x+
π
3
)的图象向右平移
π
3
个单位得到y=sinx（x∈R）的图象．
点评：本题考查利用三角函数公式恒等变形转化能力，三角函数的性质，三角函数图象的平移变换，周期变换．考查逆向思维的能力．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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