Question

（选做题）设实数x，y，z满足x+2y-3z=7，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：利用柯本不等式，可得（x²+y²+z²）[1²+2²+（-3）²]≥（x+2y-3z）²，结合已知等式和不等式等号成立的条件，不难得出x²+y²+z²的最小值及其相应的x、y、z值．

解答：解：由柯西不等式，得（x²+y²+z²）[1²+2²+（-3）²]≥（x+2y-3z）²，
∵x+2y-3z=7，
∴14（x²+y²+z²）≥49，得x²+y²+z²≥

7

2

当且仅当x=

y

2

=

z

-3

时，即x=

1

2

，y=1，z=-

3

2

时，x²+y²+z²的最小值为

7

2

．

点评：本题给出条件等式，求x²+y²+z²的最小值，着重考查了利用柯西不等式求最值的知识，属于基础题．