Question

已知函数f（x）是定义在R上的以4为周期的函数，”当x∈（-1，3]时，f（x）=

1-x2 ，x∈(-1，1] t(1-|x-2|)，x∈(1，3]

其中t＞0．若函数y=

f(x)

x

-

1

5

的零点个数是5，则t的取值范围为（　　）

• A．（

  2

  5

  ，1）
• B．（

  2

  5

  ，

  6

  5

  ）
• C．（1，

  6

  5

  ）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由函数y=

f(x)

x

-

1

5

的零点个数是5，可得函数y=f（x）的图象与直线y=

1

5

x有5个交点，数形结合可得点A（2，t） 在直线y=

1

5

x的上方，点B（6，t）在
y=

1

5

x的下方，故有 t＞2×

1

5

，且 t＜6×

1

5

，由此解得t的范围．

解答：解：如图所示：当-1＜x≤1时，f（x）=

1-x2

 表示一个以原点O（0，0）为圆心，
半径等于1的半圆．
当 1＜x≤3时，f（x）=

t(x-1) ，1＜x≤2 t(3-x) ，2＜x≤3

，表示两条线段．
再由函数y=

f(x)

x

-

1

5

的零点个数是5，可得函数y=f（x）的图象与直线y=

1

5

x有5个交点，
由题意可得，点A（2，t） 在直线y=

1

5

x的上方，点B（6，t）在y=

1

5

x的下方，
故有 t＞2×

1

5

，且 t＜6×

1

5

，解得t的范围为 （

2

5

，

6

5

），
故选B．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．