Question

13．已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由抛物线的定义可知，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，从而x₁=3．由此能得到点A的坐标．
（2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x整理得x²-6x+1=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由抛物线的定义可知线段AB的长．

解答 解：由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由抛物线的定义可知，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，从而x₁=3．
代入y²=4x，解得y₁=$±2\sqrt{3}$．
∴点A的坐标为（3，2$\sqrt{3}$）或（3，-2$\sqrt{3}$）．
（2）斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
再设B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＞4．
斜率不存在时，|AB|=4，
∴线段AB的长的最小值为4．

点评 本题考查了抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题．