题目内容
【题目】己知函数,其中
.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,
,若存在
,对任意的实数
,恒有
成立,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求导后讨论的正负号,即可说明导函数的正负号,即可说明单调性。
(Ⅱ)题干等价于存在,对任意的实数
,恒有
,记
即讨论
的取值,判断
在
的单调性,求出其最小值使
成立。
解:(Ⅰ)由题,
(1)当时,
恒成立,
故此时函数在
上单调递增;
(2)当时,函数在
上单调递增,在
上单调递减,
(Ⅱ)不等式
记,
,
则,
其中
由(Ⅰ)可知函数在
上单调递增,在
上单调递减,
(1)若,则
,
,
函数
在区间
上单调递增,
,
(2)若即
时,
,
函数
在区间
上单调递减,
,
;
(3)当时,此时
且
在
内递减,
在区间
内有唯一零点,记为
,
函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增
从而,其中
,
令,
,则
所以,
综上,当时,
取到最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(1)根据以上数据完成下列的列联表;
(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.
主食蔬菜 | 主食肉类 | 合计 | ||
50岁以下 | ||||
50岁以上 | ||||
合计 | ||||
参考公式:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示).
(1)在下面表格中填写相应的频率;
分组 | 频率 |
(2)估计数据落在中的概率;
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记分组频率号后再放回水库.几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.
【题目】某商场为改进服务质量,在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:
满意 | 不满意 | |
男 | ||
女 |
是否有
的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了
人发放价值
元的购物券.若在获得了
元购物券的
人中随机抽取
人赠其纪念品,求获得纪念品的
人中仅有
人是女顾客的概率.
附表及公式:.