题目内容

已知，数列{an}有a1=a，a2=p（常数p＞0），对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn=
n(an-a1)
2
．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{an}是不是等差数列，若是，求出其通项公式．若不是，说明理由；
（3）令pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
，是否存在正整数M，使不等式p1+p2+…+pn-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由．
分析：（1）由 a=a1=s1 和 Sn=
n(an-a1)
2
 可得 a 的值．
（2）先求出 Sn，可得 Sn-1，根据Sn-Sn-1=an，化简可得 
an
an-1
=
n-1
n-2
，an =k（n-1），故数列{an}是等差数列．由a2 =p=k•（2-1），求出 k 值，得到an =p（n-1）=（n-1）p．
（3）根据定义先表示出p1+p2+…+pn-2n=2+1-
2
n+1
-
2
n+2
，再求其上边界即可．
解答：解：（1）由已知，得s1=
1•(a-a)
2
=a1=a，∴a=0
（2）由a1=0得Sn=
nan
2
，则Sn+1=
(n+1)an+1
2
，
∴2（Sn+1-Sn）=（n+1）an+1-nan，即2an+1=（n+1）an+1-nan，
于是有（n-1）an+1=nan，并且有nan+2=（n+1）an+1，
∴nan+2-（n-1）an+1=（n+1）an+1-nan，即n（an+2-an+1）=n（an+1-an），
而n是正整数，则对任意n∈N都有an+2-an+1=an+1-an，
∴数列{an}是等差数列，其通项公式是an=（n-1）p．
（3）∵Sn=
n(n-1)p
2
∴pn=
(n+2)(n+1)p
2
(n+1)np
2
+
(n+1)np
2
(n+2)(n+1)p
2
=2+
2
n
-
2
n+2

∴p1+p2+p3+…+pn-2n=(2+
2
1
-
2
3
)+(2+
2
2
-
2
4
)+…+(2+
2
n
-
2
n+2
)-2n
=2+1-
2
n+1
-
2
n+2
；
由n是正整数可得p1+p2+…+pn-2n＜3，
故存在最小的正整数M=3，使不等式p1+p2+…+pn-2n≤M恒成立．
点评：本题考查数列的综合问题，考查数列的递推关系与通项公式之间的关系，考查学生探究性问题的解决方法，注意体现转化与化归思想的运用．
练习册系列答案
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（2008•南汇区一模）已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn=
n(an-a1)
2
．
（1）求a的值；
（2）求证数列{an}是等差数列；
（3）对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn＜b且
lim
n→∞
bn=b，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
，求数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”．
已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足．
（1）求a的值；
（2）求证数列{an}是等差数列；
（3）对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn＜b且，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令，求数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”．
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（1）求a的值；
（2）试确定数列{an}是不是等差数列，若是，求出其通项公式．若不是，说明理由；
（3）令，是否存在正整数M，使不等式p1+p2+…+pn-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由．
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（3）对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn＜b且，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令，求数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”．

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