Question

已知，数列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{a_n}是不是等差数列，若是，求出其通项公式．若不是，说明理由；
（3）令，是否存在正整数M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 a=a₁=s₁ 和  可得 a 的值．
（2）先求出 S_n，可得 S_n-1，根据S_n-S_n-1=a_n，化简可得  =，a_n =k（n-1），故数列{a_n}是等差数列．由a₂ =p=k•（2-1），求出 k 值，得到a_n =p（n-1）=（n-1）p．
（3）根据定义先表示出p₁+p₂+…+p_n-2n=，再求其上边界即可．
解答：解：（1）由已知，得，∴a=0
（2）由a₁=0得，则，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整数，则对任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=（n-1）p．
（3）∵
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=
=；
由n是正整数可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
故存在最小的正整数M=3，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．
点评：本题考查数列的综合问题，考查数列的递推关系与通项公式之间的关系，考查学生探究性问题的解决方法，注意体现转化与化归思想的运用．