题目内容
（2013•天津）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若
•
+
•
=8，求k的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若
| AC |
| DB |
| AD |
| CB |
分析：（I）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于
，再由离心率为
，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由由
消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解．求得
•
+
•
，利用
•
+
•
=8，即可求得k的值．
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由由
|
| AC |
| DB |
| AD |
| CB |
| AC |
| DB |
| AD |
| CB |
解答：解：（I）根据椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)．
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
，
∴
=
，
∵离心率为
，∴
=
，
解得b=
，c=1，a=
．
∴椭圆的方程为
+
=1；
（II）直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由
消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，又A（-
，0），B（
，0），
∴
•
+
•
=（x1+
，y1）•（
-x2．-y2）+（x2+
，y2）•（
-x1．-y1）
=6-（2+2k2）x1x2-2k2（x1+x2）-2k2，
=6+
=8，解得k=±
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
4
| ||
| 3 |
∴
| 2b2 |
| a |
4
| ||
| 3 |
∵离心率为
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
解得b=
| 2 |
| 3 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（II）直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由
|
∴x1+x2=-
| 6k2 |
| 2+3k2 |
| 3k2-6 |
| 2+3k2 |
| 3 |
| 3 |
∴
| AC |
| DB |
| AD |
| CB |
=（x1+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=6-（2+2k2）x1x2-2k2（x1+x2）-2k2，
=6+
| 2k2+12 |
| 2+3k2 |
| 2 |
点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．
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