题目内容
（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=
+
取得最小值．
-2
-2
时，| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
分析：由于a+b=2，b＞0，从而
+
=
+
，（a＜2），设f（a）=
+
，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| 2-a |
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| 2-a |
解答：
解：∵a+b=2，b＞0，
∴
+
=
+
，（a＜2）
设f（a）=
+
，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-
+
，
f′（a）=
-
=
，当a＜-2时，f′（a）＜0，当-2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数，
∴当a=-2时，
+
取得最小值
．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=
时，
+
取得最小值
．
综合，则当a=-2时，
+
取得最小值．
故答案为：-2．
解：∵a+b=2，b＞0，∴
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| 2-a |
设f（a）=
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| 2-a |
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-
| 1 |
| 2a |
| a |
| a-2 |
f′（a）=
| 1 |
| 2a2 |
| 2 |
| (a-2)2 |
| -(3a-2)(a+2) |
| 2a2(a-2)2 |
故函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数，
∴当a=-2时，
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
| 3 |
| 4 |
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
| 5 |
| 4 |
综合，则当a=-2时，
| 1 |
| 2|a| |
| |a| |
| b |
故答案为：-2．
点评：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
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