题目内容
【题目】已知函数在点
处的切线方程为
.
(1)求、
;
(2)设曲线与
轴负半轴的交点为点
,曲线在点
处的切线方程为
,求证:对于任意的实数
,都有
;
(3)若关于的方程
有两个实数根
,
,且
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)将点代入切线方程得出
,并求出函数
的导数
,由
求出
、
的值;
(2)求出点的坐标,并利用导数求出函数
在点
处切线对应的函数
,然后构造函数
,利用导数证明出
;
(3)求出方程的根
,利用函数
的单调性证明出
,设函数
在原点处的切线对应的函数为
,易得
的根为
,由函数
的单调性得出
,再利用不等式的性质可证明结论成立.
(1)将代入切线方程
中,有
,
所以,即
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
;
(2)由(1)可知,令
,有
或
,
故曲线与
轴负半轴的唯一交点
为
.
曲线在点处的切线方程为
,则
,
令,则
,
所以,
.
当时,若
,
,
若,
,
在
上单调递增,
,故
,
在
上单调递减,
当时,由
知
在
时单调递增,
,函数
在
上单调递增.
所以,即
成立;
(3),设
的根为
,则
,
又单调递减,且
,所以
,
设曲线在点
处的切线方程为
,有
,
令,
,
当时,
,
当时,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以,即
,
设的根为
,则
,
又函数单调递增,故
,故
.
又,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:
人数 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
件数 | 4 | 7 | 12 | 15 | 20 | 23 | 27 |
(1)在答题卡给定的坐标系中画出表中数据的散点图,并由散点图判断销售件数与进店人数
是否线性相关?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测进店人数为80时,商品销售的件数(结果保留整数).
(参考数据:,
,
,
,
,
)
参考公式:,
,其中
,
为数据
的平均数.
【题目】大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年,共有250人参与学习先修课程.
(Ⅰ)这两年学校共培养出优等生150人,根据下图等高条形图,填写相应列联表,并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | 250 | ||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 | 150 |
(Ⅱ)某班有5名优等生,其中有2名参加了大学生先修课程的学习,在这5名优等生中任选3人进行测试,求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式:,其中
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?