题目内容

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD， $数学公式$
（1）求异面直线AC和DE所成的角
（2）求二面角A-CD-E的大小
（3）若Q为EF的中点，P为AC上一点，当 $数学公式$ 为何值时，PQ∥平面EDC？

解：（1）以AB，AD，AF所在直线为坐标轴建立坐标系，如图：
设AD=2，则 A（0，0，0），C（1，-1，0），D（0，-2，0），
E（0，-1，1），F（0，0，1）．
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴异面直线AC和DE所成的角为60°．
（2） $\text{[math]}$ ，
设平面CDE的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，取x=1，y=-1，z=1，故 $\text{[math]}$ ．
平面CDA的一个法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以二面角A-CD-E的大小为 $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ ，设P（x，y，0）， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，求得λ=3，因此 $\text{[math]}$ 的值为3时，PQ∥平面EDC．
分析：（1）以AB，AD，AF所在直线为坐标轴建立坐标系，求出 $\text{[math]}$ 的值，即可得到异面直线AC和DE所成的角．
（2）求出两个平面的法向量的坐标，即可求得这两个法向量的夹角的余弦值，从而得到二面角A-CD-E的大小．
（3）设P（x，y，0），由 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 的坐标，由 $\text{[math]}$ 求得λ值，即得所求．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，证明线面平行的方法，求二面角的大小，体现了转化的数学思想，
准确求出有关向量的坐标是解题的关键．