Question

20．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线$\{\left.\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{y=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2$\sqrt{2}-\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 曲线$\{\left.\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{y=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）化为普通方程x²+y²=7，曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）化为x+y=4，求出圆心圆心O（0，0）到直线的距离d，即可得出最短距离=d-r．

解答 解：曲线$\{\left.\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{y=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）化为x²+y²=7，
曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）化为x+y=4，
圆心O（0，0）到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
因此曲线$\{\left.\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{y=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρ（cosθ+sinθ）=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2$\sqrt{2}-\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{2}-\sqrt{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．