Question

【题目】如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

证明：（1）直线EE//平面FCC；

（2）求二面角B-FC-C的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】试题分析：（1）以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,求得设平面CC1F的法向量为， ，由得直线EE//平面FCC；
（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或其补角．

试题解析：

解法（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以

,,

设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.

（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,

,,

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.