Question

17．函数$y=\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值是$\frac{5}{2}$．设x、y∈R⁺且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，则x+y的最小值为16．

Answer 1

分析 换元，利用函数的单调性求出函数$y=\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值；利用“1”的代换，结合基本不等式，求出x+y的最小值．

解答 解：设$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t（t≥2），则y=t+$\frac{1}{t}$在[2，+∞）上是单调增函数，
∴当t=2时，函数的最小值为$\frac{5}{2}$；
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，x、y∈R⁺，
∴x+y=（x+y）•（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=16（当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}$，x=4，y=12时取“=”）
∴x+y的最小值为16．
故答案为：$\frac{5}{2}$；16．

点评 本题考查函数的最小值，考查函数的单调性，考查基本不等式的运用，选择正确的方法是关键．