Question

正六面体：用4种颜色涂色，相邻2面颜色不同，涂色方法有多少种？

Answer 1

10

设4种不同颜色为1、2、3、4把正六面体去掉上底面其他面展开（如图）




（1）用3种不同颜色，并且3种颜色全用上
不妨设用颜色1、2、3
我们选定面上底面着颜色1，则下底面只能着上颜色1，四个侧面只能是如图的方法，故只有1种着色方法，由正方体的对称性，换成其他颜色，其着色结果是相同的。
因此3种颜色选定着色方法就定了，这一类有种方法
（2）用4种不同颜色，并且4种颜色全用上，我们选定面上底面着颜色1，则
①当下底面着颜色1时，前后面左右面只有且只有3种颜色，必有两个面着相同的颜色，有种着法
②当下底面不着颜色1时，当下底面着颜色2时，只能有1种着色方法
当下底面着颜色3或4时也一样，
故有种方法
综上共有10种着色方法.