题目内容
【题目】如图所示的矩形中,
,点
为
边上异于
,
两点的动点,且
,
为线段
的中点,现沿
将四边形
折起,使得
与
的夹角为
,连接
,
.
(1)探究:在线段上是否存在一点
,使得
平面
,若存在,说明点
的位置,若不存在,请说明理由;
(2)求三棱锥的体积的最大值,并计算此时
的长度.
【答案】(1)见解析.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1) 取线段EF的中点M,易证GM∥DF ,从而得到GM∥平面BDF;(2) 因为CF∥DE,且AE与CF的夹角为60°,故AE与DE的夹角为60°,利用等体积法表示体积,进而得到体积的最大值,及此时DE的长度.
试题解析:
(1)如图所示,取线段EF的中点M,下证GM∥平面BDF;
因为G为线段ED中点,M为线段EF的中点,
故GM为△EDF的中位线,故GM∥DF,
又GM平面BDF,DF平面BDF,故GM∥平面BDF;
(2)因为CF∥DE,且AE与CF的夹角为60°,
故AE与DE的夹角为60°,
过D作DP垂直于AE交AE于P,
因为DE⊥EF,AE⊥EF,故DP为点D到平面ABFE的距离,
设DE=x,则AE=BF=4-x,
由①知GM∥DF,
故VG-BDF=VM-BDF=VD-MBF=·S△MBF·DP=
×
×
x
=·x≤
,
当且仅当4-x=x时等号成立,此时x=DE=2,
故三棱锥G-BDF的体积最大值为,此时DE的长度为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳远(单位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳绳(单位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a1 | b | 65 |
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
(A)2号学生进入30秒跳绳决赛
(B)5号学生进入30秒跳绳决赛
(C)8号学生进入30秒跳绳决赛
(D)9号学生进入30秒跳绳决赛